Загрузка данных...

Великая теорема Ферма

2013.09.24 18:55:45

Просмотров: 5182

Великая теорема Ферма

Автор: Колосов Д.
-
Предисловие

Будучи юристом по профессии и занимаясь математикой на досуге, для праздного удовольствия, Пьер де Ферма — как он выразился сам — «… установил множество исключительно красивых теорем». При этом он не представил на суд ни одного доказательства, упомянув, что лично ему все эти задачи удалось решить, бросая, как показало время, вызов не одному поколению сильнейших математиков.

Великий математик Пьер де Ферма

Античные корни

Если бы нам довелось учиться в дореволюционной школе, то, вероятно, мы бы знали молитву Отче наш, т. к. богословие было предметом в те времена обязательным, да и вообще большинство школ было связано с церковью. Современный обыватель, не сталкивающийся с математикой, мало что помнит из школьного курса, но у нас тоже есть своеобразный Отче наш — знания, которые помнят пусть не все, но если что и помнят, то, скорее всего, их. Нет, конечно же, это не теорема Ферма, о которой пойдет речь. Это теорема Пифагора (и в меньшей степени решение квадратных уравнений) из курса алгебры. Не верите? Опросите десяток знакомых — и вы, несомненно, услышите что-то наподобие: «сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», ну или хотя бы: «цэ квадрат равно а квадрат плюс бэ квадрат».

Тут самое время сказать несколько слов о Пифагоре и его теореме. Но сначала немного о геометрии и о роли древних греков в этой поистине замечательной науке.
Мы не откроем Америку, если скажем, что геометрия зародилась в Египте как набор некоторых практических правил при измерениях и проектировании в землеустройстве и строительстве. Хотелось бы пояснить вышесказанное. Заметьте, ни о какой геометрии как науке речь в Древнем Египте не шла. Само слово греческого происхождения и дословно переводится как «землемерие», хотя, зная о пирамидах и величественных храмах Древнего Египта, можно догадаться, что мерить египтяне умели не только земельные наделы. Во-первых, о науке можно говорить лишь тогда, когда появляется четкое осознание того, что в основе изучаемых процессов (в основе природы вообще) лежат некоторые закономерности (законы природы) — и наука, прежде всего, изучает эти закономерности и уже на основе этих закономерностей объясняет происходящие процессы. Во-вторых, наука предполагает наличие систематики и методологии. К примеру, каждый садовод-любитель знает, что осенняя вскопка является обязательной процедурой для поддержания плодородия земли. И каждый огородник осенью проделывает эту нехитрую процедуру. И совсем не обязательно знать, что, разрыхляя таким образом землю, в ней возрастает пористость («порозность», как говорят агрофизики), а поры в физическом смысле являются капиллярами, и за счет капиллярных явлений в почве больше и дольше задерживается влага, которая используется растениями, что и приводит к повышению урожайности. И это не единственный аспект повышения плодородия благодаря вскопке. Как видно, для того чтобы пользоваться веками проверенными «дедушкиными» методами, совсем не нужно знать не то что глубины, а даже основы агрофизики. У египтян тоже просто была необходимость правильно промерять земельные наделы, правильно рассчитать все необходимое при строительстве. У них тоже были веками проверенные методы, которые в свою очередь тоже развивались со временем (но медленно), а в подробности они сильно не вдавались. И, нужно сказать, они очень далеко ушли в этом своем умении. Кто считает, что подобные измерения не представляют особого труда, может взять рулетку и промерить стены своего дома или квартиры (особенно если дом построен после пятидесятых). Многие убедятся: прошло шесть тысяч лет (именно столько прошло после начала строительства первых пирамид в Египте), а мерить мы так и не умеем, точнее, не хотим. И посему можно сделать печальный вывод: с такими измерениями наши строения навряд ли простоят столько же, сколько уже стоят египетские.


Первые победы

Прошло ровно 40 лет после смерти Ферма, когда в 1705 году в семье священника Пауля Эйлера появился на свет следующий гений математики, внесший первый вклад в решение теоремы Ферма. Леонард Эйлер долгое время жил и работал в России, где и умер в 1783 году, дожив до глубокой старости даже по современным меркам. Математическое наследие Леонарда Эйлера невероятно богато. Мы же коснемся лишь той его части, которая непосредственно относится к теореме Ферма.

Леонард Эйлер
Выше говорилось о том, что Ферма не представил доказательства своей теоремы, сославшись на недостаток места на полях книги. На самом деле это не совсем так. Он его представил, и далее следуют четыре НО. Первое — он привел его в сжатом виде, второе — вставил в доказательство совсем другой задачи, третье — зашифровал его и четвертое — доказательство было только для случая четвертой степени. Тем не менее Эйлеру хватило этого, чтобы уловить главное — метод доказательства. А Ферма использовал не что иное, как метод бесконечного спуска. Доказательство сводилось к простой идее. Пусть существует какое-то решение в целых числах для четвертой степени, Ферма доказывал, что оно должно существовать и для чисел меньших, затем доказывается, что решение должно существовать и для еще более малых чисел — и так бесконечно, но так как целые числа не могут уменьшаться бесконечно (а доказательство основывается именно на бесконечном уменьшении решений), следовательно, не существует вообще целых чисел, которые удовлетворяли бы уравнению. Эйлер собирался доказать теорему Ферма для всех чисел, используя метод бесконечного спуска, но сначала он решил заполнить пробел и доказать теорему для случая третьей степени.

Приступив к разрешению данной задачи, Эйлер столкнулся с определенного рода проблемой — мнимыми числами. Мнимой единицей называют корень квадратный из минус одного. Дело в том, что в доказательстве для случая четвертой степени можно обойтись без мнимых чисел, а для куба без них никак нельзя. Несмотря на такое усложнение задачи, Эйлер все же с ней справился и доказал, что для случая третьей степени теорема Ферма верна. Браво! И что же дальше? А ничего. Именно, что больше ничего Эйлеру не удалось доказать по теореме Ферма. Он не смог распространить свой успех с мнимыми числами на степени большие четырех. И снова на много десятилетий тишина. Много попыток, но никакого успеха в доказательстве теоремы Ферма.

Женская эстафета

Итак, Эйлер доказал теорему Ферма для первого простого числа. Далее события могли развиваться в двух независимых направлениях. Можно было по очереди доказывать теорему Ферма для всех простых чисел (5, 7, 11 и так далее), но из-за бесконечности простых чисел это были бы досужие развлечения, так как в принципе вопроса решить не могли. Так как теорема Ферма не имеет какого-либо практического применения, то ее решение вообще можно отнести в разряд своеобразных забав для любителей и профессионалов математики. Тем не менее опыт Эйлера показал, что если сама теорема и не имеет практического толка, то работа над ее доказательством может «породить хорошую математику». Для качественного прорыва в решении теоремы Ферма нужно было идти по пути обобщения в области простых чисел. Первый шаг в этом направлении был сделан женщиной.

Источник: nt-magazine.ru




Понравилась статья? Поделись!

!!

Добавить комментарий к статье


Политинформация

НОВОСТИ ПАРТНЕРОВ

Loading...
Яндекс.Метрика
feedback
Спасибо! Ваша заявка принята.